Áp suất khí và động năng phân tử

Nội dung bài học Nội dung từ hệ thống

Mục tiêu

Khởi động

Ở Bài 1 ta nói áp suất sinh ra từ va chạm của phân tử lên thành bình, còn nhiệt độ liên quan đến tốc độ phân tử. Bài này làm rõ mối liên hệ đó bằng công thức: áp suất phụ thuộc vào mật độ và động năng của phân tử, còn động năng trung bình tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối.

Kiến thức

1. Áp suất khí theo mô hình động học

Xét khí lí tưởng trong bình. Mỗi phân tử khối lượng $m$ khi va chạm đàn hồi vào thành bình làm đổi chiều thành phần vận tốc vuông góc với thành, nên truyền cho thành một xung lực. Cộng các xung lực của rất nhiều phân tử trong mỗi giây và chia cho diện tích thành bình ta được áp suất. Kết quả (ở đây chỉ nêu, không chứng minh) là:

$$p = \dfrac{1}{3}\mu m\overline{v^2}$$

Trong đó $\mu = N/V$ là mật độ phân tử, $m$ là khối lượng một phân tử và $\overline{v^2}$ là trung bình của bình phương tốc độ. Gọi động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử là $\overline{E_d} = \dfrac{1}{2}m\overline{v^2}$, ta viết lại:

$$p = \dfrac{2}{3}\mu\overline{E_d}$$

Như vậy áp suất tăng khi mật độ phân tử tăng (nhiều va chạm hơn) hoặc khi động năng trung bình tăng (va chạm mạnh hơn).

Phân tử đến thành bình rồi bật trở lại. Mỗi va chạm truyền cho thành bình một xung lực; rất nhiều va chạm liên tiếp tạo ra áp suất.

2. Động năng trung bình và nhiệt độ

So sánh công thức trên với $pV = nRT$ và $N = nN_A$ ta rút ra: động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối:

$$\overline{E_d} = \dfrac{3}{2}kT, \qquad k = \dfrac{R}{N_A} \approx 1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{J/K}$$

$k$ gọi là hằng số Boltzmann. Ý nghĩa vật lí của nhiệt độ: nhiệt độ tuyệt đối là số đo động năng tịnh tiến trung bình của các phân tử khí; nhiệt độ càng cao thì phân tử chuyển động hỗn loạn càng mạnh. Ở cùng nhiệt độ, mọi chất khí lí tưởng có cùng động năng tịnh tiến trung bình, dù khối lượng phân tử khác nhau.

3. Tốc độ căn quân phương

Từ $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT$ suy ra tốc độ căn quân phương của phân tử (căn bậc hai của trung bình bình phương tốc độ):

$$v = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$$

Ở cùng nhiệt độ, phân tử nhẹ chuyển động nhanh hơn phân tử nặng. Hình dưới minh họa định tính sự phân bố tốc độ: các phân tử không có cùng tốc độ, mà phân bố quanh một giá trị, và đường của khí nhẹ nằm lệch về phía tốc độ lớn hơn.

Minh họa định tính ở cùng nhiệt độ 300 K: phân tử hiđro nhẹ hơn nên đỉnh phân bố nằm ở tốc độ lớn hơn (khoảng gấp 4 lần) và đường cong rộng, thấp hơn; phân tử oxi nặng hơn có tốc độ nhỏ hơn và tập trung hơn.

4. Hệ thức $p = \mu kT$

Thay $\overline{E_d} = \dfrac{3}{2}kT$ vào $p = \dfrac{2}{3}\mu\overline{E_d}$ ta được:

$$p = \mu kT$$

Hệ thức này cho thấy ở cùng nhiệt độ và áp suất, mật độ phân tử của mọi chất khí lí tưởng như nhau.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Động năng và tốc độ phân tử heli

Tính động năng tịnh tiến trung bình và tốc độ căn quân phương của phân tử heli ($M = 4$ g/mol) ở $300$ K.

$\overline{E_d} = \dfrac{3}{2}kT = 1{,}5\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300 \approx 6{,}21 \cdot 10^{-21}$ J.

$m = \dfrac{M}{N_A} = \dfrac{4\cdot10^{-3}}{6{,}02\cdot10^{23}} \approx 6{,}64 \cdot 10^{-27}$ kg. $v = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} \approx 1367$ m/s.

Ví dụ 2: Mật độ phân tử ở điều kiện chuẩn

Tính mật độ phân tử của một chất khí lí tưởng ở điều kiện chuẩn ($p = 1{,}013\cdot10^{5}$ Pa, $T = 273$ K).

$\mu = \dfrac{p}{kT} = \dfrac{1{,}013\cdot10^{5}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot273} \approx 2{,}69 \cdot 10^{25}$ m$^{-3}$.

Ví dụ 3: So sánh hiđro và oxi

So sánh tốc độ căn quân phương của phân tử $\text{H}_2$ ($M = 2$ g/mol) và $\text{O}_2$ ($M = 32$ g/mol) ở cùng $300$ K.

$v_{H_2} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot8{,}31\cdot300}{2\cdot10^{-3}}} \approx 1933$ m/s; $v_{O_2} \approx 483$ m/s.

Tỉ số $\dfrac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = 4$: phân tử hiđro nhẹ hơn $16$ lần nên nhanh hơn $4$ lần.

Ví dụ 4: Nhiệt độ tăng gấp bốn

Nhiệt độ tuyệt đối của khí tăng từ $300$ K lên $1200$ K. Tốc độ căn quân phương của phân tử tăng bao nhiêu lần?

$v \sim \sqrt{T}$ nên $\dfrac{v_2}{v_1} = \sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$. Tốc độ tăng gấp đôi.

Kiểm tra nhanh

Kiểm tra nhanh: Nhiệt độ tuyệt đối tăng gấp đôi thì động năng tịnh tiến trung bình thay đổi thế nào?

Tăng gấp đôi, vì $\overline{E_d} = \frac{3}{2}kT$ tỉ lệ với $T$.

Kiểm tra nhanh: Ở cùng nhiệt độ, khí nào có tốc độ căn quân phương lớn hơn: $\text{He}$ hay $\text{Ne}$ ($M_{\text{Ne}} = 20$ g/mol)?

Heli, vì phân tử nhẹ hơn và $v = \sqrt{3RT/M}$.

Kiểm tra nhanh: Ở cùng $p$ và $T$, mật độ phân tử của khí hiđro và khí oxi so với nhau thế nào?

Bằng nhau, vì $\mu = p/(kT)$ không phụ thuộc loại khí.

Tóm tắt

$p = \dfrac{1}{3}\mu m\overline{v^2} = \dfrac{2}{3}\mu\overline{E_d}$.
$\overline{E_d} = \dfrac{3}{2}kT$ với $k = R/N_A \approx 1{,}38\cdot10^{-23}$ J/K: nhiệt độ đo động năng tịnh tiến trung bình của phân tử.
$v = \sqrt{3kT/m} = \sqrt{3RT/M}$; $p = \mu kT$.

Khi đã đọc xong, hãy bấm nút Luyện tập chủ đề này ở cuối bài để làm các câu trắc nghiệm, đúng/sai và trả lời ngắn về nội dung vừa học.

Áp suất khí và động năng phân tử