Mục tiêu
Khởi động
Trong thực tế, thường cả ba thông số $p$, $V$, $T$ của khí cùng thay đổi: lốp xe nóng lên khi chạy và áp suất tăng; khí bơm vào bình phải nén lại và nóng lên. Các định luật trước chỉ cho phép một thông số không đổi. Bài này kết hợp chúng thành một phương trình tổng quát.
Kiến thức
1. Biến đổi tổng quát và phương trình trạng thái
Xét một lượng khí xác định chuyển từ trạng thái 1 $(p_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(p_2, V_2, T_2)$. Ta có thể thực hiện chuyển đó qua một trạng thái trung gian: trước hết biến đổi đẳng nhiệt, sau đó đẳng áp (hoặc đẳng tích). Áp dụng các định luật Boyle và Charles cho từng bước, ta được:
2. Ba định luật là trường hợp riêng
| Điều kiện | Rút gọn từ $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$ | Định luật |
|---|---|---|
| $T_1 = T_2$ | $p_1V_1 = p_2V_2$ | Boyle |
| $p_1 = p_2$ | $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ | Charles (đẳng áp) |
| $V_1 = V_2$ | $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$ | Charles (đẳng tích) |
3. Phương trình Clapeyron
Thực nghiệm cho thấy hằng số trong phương trình trạng thái tỉ lệ với lượng khí. Với $n$ mol khí:
Trong đó $R = 8{,}31$ J/(mol·K) là hằng số khí lí tưởng, $p$ tính bằng Pa, $V$ tính bằng m³, $T$ tính bằng K. Vì $n = m/M$ nên cũng có thể viết $pV = \dfrac{m}{M}RT$.
4. Điều kiện chuẩn và thể tích mol
Điều kiện chuẩn là $p = 1$ atm $= 1{,}013\cdot10^{5}$ Pa và $T = 273$ K (0 °C). Ở điều kiện chuẩn, thể tích của $1$ mol khí lí tưởng là $V = \dfrac{RT}{p} = \dfrac{8{,}31\cdot273}{1{,}013\cdot10^{5}} \approx 22{,}4\cdot10^{-3}$ m³ $\approx 22{,}4$ lít.
5. Khối lượng riêng của khí
Từ $pV = \dfrac{m}{M}RT$ suy ra khối lượng riêng $\rho = \dfrac{m}{V}$ của khí:
Ở nhiệt độ và áp suất cho trước, khí có khối lượng mol lớn hơn thì có khối lượng riêng lớn hơn. Khi cùng áp suất, nhiệt độ tăng thì khối lượng riêng giảm.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Biến đổi tổng quát
Khí trong bình có thể tích $6$ lít ở áp suất $1$ atm và nhiệt độ $27$ °C. Nén khí đến áp suất $3$ atm và nhiệt độ $127$ °C. Tính thể tích khí sau khi nén.
$T_1 = 300$ K; $T_2 = 400$ K. Từ $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$:
$V_2 = \dfrac{p_1V_1T_2}{p_2T_1} = \dfrac{1\cdot6\cdot400}{3\cdot300} \approx 2{,}67$ lít.
Ví dụ 2: Tính số mol
Một bình thể tích $5{,}0$ lít chứa khí ở áp suất $2{,}0$ atm và nhiệt độ $27$ °C. Tính số mol khí.
Đổi: $p = 2{,}0\cdot1{,}013\cdot10^{5} = 2{,}03 \cdot 10^{5}$ Pa; $V = 5{,}0\cdot10^{-3}$ m³; $T = 300$ K.
$n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{2{,}03 \cdot 10^{5}\cdot5{,}0\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot300} \approx 0{,}41$ mol.
Ví dụ 3: Khối lượng khí trong bình
Bình thể tích $20$ lít chứa khí oxi ($M = 32$ g/mol) ở áp suất $5{,}0\cdot10^{6}$ Pa và nhiệt độ $27$ °C. Tính khối lượng oxi trong bình.
$V = 20\cdot10^{-3}$ m³; $T = 300$ K; $M = 32\cdot10^{-3}$ kg/mol.
$m = \dfrac{pVM}{RT} = \dfrac{5{,}0\cdot10^{6}\cdot20\cdot10^{-3}\cdot32\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot300} \approx 1{,}28$ kg.
Ví dụ 4: Điều kiện chuẩn
Tính thể tích của $3$ mol khí ở điều kiện chuẩn và khối lượng riêng của không khí ($M = 29$ g/mol) ở điều kiện chuẩn.
$V = 3\cdot22{,}4 \approx 67{,}2$ lít (hoặc dùng $nRT/p \approx 67{,}2$ lít).
$\rho = \dfrac{pM}{RT} = \dfrac{1{,}013\cdot10^{5}\cdot29\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot273} \approx 1{,}29$ kg/m³.
Kiểm tra nhanh
Kiểm tra nhanh: Một lượng khí giữ nguyên áp suất, nhiệt độ tuyệt đối tăng gấp đôi. Thể tích thay đổi thế nào?
Thể tích tăng gấp đôi (từ $pV/T$ = hằng số với $p$ không đổi).
Kiểm tra nhanh: Ở điều kiện chuẩn, $2$ mol khí chiếm khoảng bao nhiêu lít?
$2\cdot22{,}4 = 44{,}8$ lít.
Kiểm tra nhanh: Cùng áp suất và nhiệt độ, khí nào có khối lượng riêng lớn hơn: $\text{H}_2$ ($M = 2$ g/mol) hay $\text{O}_2$ ($M = 32$ g/mol)?
Khí oxi, vì $\rho = pM/(RT)$ tỉ lệ với $M$.
Tóm tắt
- Phương trình trạng thái: $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$ cho một lượng khí xác định.
- Boyle và Charles là các trường hợp riêng khi $T$, $p$ hoặc $V$ không đổi.
- Clapeyron: $pV = nRT$ với $R = 8{,}31$ J/(mol·K), dùng đơn vị SI.
- Điều kiện chuẩn: $1$ mol khí chiếm khoảng $22{,}4$ lít; $\rho = pM/(RT)$.
Khi đã đọc xong, hãy bấm nút Luyện tập chủ đề này ở cuối bài để làm các câu trắc nghiệm, đúng/sai và trả lời ngắn về nội dung vừa học.